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: 09年 首都大東京 文系(数II 方程式☆) : 09年 京都大 文系(数II 微積分) 掲載日:09年7月17日(金) : 09年 京都大 文系(数II 微積分) 掲載日:09年7月17日(金)

解答

  $\displaystyle \int_{0}^{x}f\left(y\right)\, dy+\int_{0}^{1}\left(x+y\right)^{2}f\left(y\right)\, dy=x^{2}+C$    
  % latex2html id marker 3602
$\displaystyle \therefore \quad \int_{0}^{x}f\left(...
...\, dy+2x\int_{0}^{1}yf\left(y\right)\, dy+\int_{0}^{1}y^{2}f\left(y\right)\, dy$    
  $\displaystyle \qquad =x^{2}+C \hikidashi \maruichi$    

$ x=0$のとき,$ \maruichi$は,
  $\displaystyle \int_{0}^{1}y^{2}f\left(y\right)\, dy=C \hikidashi \maruni$    

よって,$ \maruichi$は,
$\displaystyle \int_{0}^{x}f\left(y\right)\, dy+x^{2}\int_{0}^{1}f\left(y\right)\, dy+2x\int_{0}^{1}yf\left(y\right)\, dy=x^{2} \hikidashi \maruichi '$    

$ \maruichi '$$ x$で微分すると,
  $\displaystyle f\left(x\right)+2x\int_{0}^{1}f\left(y\right)\, dy+2\int_{0}^{1}yf\left(y\right)\, dy=2x \hikidashi \marusan$    

ここで, $ \int_{0}^{1}f\left(y\right)\, dy=A,\, \int_{0}^{1}yf\left(y\right)\, dy=B$とおくと,
  $\displaystyle A=2\int_{0}^{1}\left\{ \left(1-A\right)y-B\right\} \, dy=1-A-2B$    
  % latex2html id marker 3620
$\displaystyle \therefore \quad 2A+2B=1 \hikidashi \marushi$    

また,
  $\displaystyle B=2\int_{0}^{1}y\left\{ \left(1-A\right)y-B\right\} \, dy=\dfrac{2}{3}\left(1-A\right)-2B$    
  % latex2html id marker 3622
$\displaystyle \therefore \quad 2A+6B=2 \hikidashi \marugo$    

$ \marushi ,\, \marugo$を連立して解くと, $ A=\dfrac{1}{4},\, B=\dfrac{1}{4}$であるから,
  $\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}$    

よって,$ \maruni $より,
  $\displaystyle C=\int_{0}^{1}y^{2}\left(\dfrac{3}{2}y-\dfrac{1}{2}\right)\, dy=\int_{0}^{1}\left(\dfrac{3}{2}y^{3}-\dfrac{1}{2}y^{2}\right)\, dy=\dfrac{5}{24}$    

以上より, $ f\left(x\right)=\bm{\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}},\, C=\bm{\dfrac{5}{24}}$


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kenty 平成21年8月18日
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